Geometria Espacial
Ângulo poliédrico
Sejam n semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces


DAYSE BISPO

Geometria Espacial
Ângulos
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:
Observações:

Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
Triedos
Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:


ISA CARLA DE JESUS

Geometria Espacial
Perpendicularismo entre planos
Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
Distâncias
A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:


ISA CARLA DE JESUS

Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .
Note que:
se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :

para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano:

Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos, , são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:
c) planos paralelo
Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:


ISA CARLA DE JESUS

Geometria Espacial
Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:


Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:
uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

duas retas distintas concorrentes:

duas retas paralelas distintas:

Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:

b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando .
Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //
Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.


ISA CARLA DE JESUS

Geometria Espacial
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

Temos que considerar dois casos particulares:
retas perpendiculares:
retas ortogonais:

DANIELA BRAGA

Geometria Espacial

Conceitos primitivos
São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:


Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas
P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.


P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

DANIELA BRAGA

Trapézio é o quadrilátero que possui pelo menos dois lados paralelos.Paralelogramo é o quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos.Retângulo é o quadrilátero que possui quatro ângulos retos.(pôr desenho)Quadrado é o quadrilátero que possui quatro lados congruentes e quatro ângulos retos.(pôr desenho)Losango é o quadrilátero que possui os quatro lados congruentes.(pôr desenho)Primas e cilindros são figuras geométricas espaciais chamadas sólidos geométricos.Os prismas são designados pelo número de lados das bases. Ex.:
prisma triangular
prisma pentagonal
prisma quadrangular
prisma hexagonalParalelepípedos são os prismas cujas bases também são paralelogramos.Cilindros são sólidos limitados por dois círculos congruentes, situados em planos paralelos, e por uma superfície curva que pode ser planificada.

DANIELA SANTOS DE BRAGA

FIGURAS DE MAURITS CORNELLIS ESCHER

GEOMETRIA PLANA

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulo.

algumas definiçoes:
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Polígono No. de lados Poligonos No. de lados
triângulo 3 quadrilátero 4
pentágono 5 hexágono 6
heptágono 7 octágono 8
eneágono 9 decágono 10
undecágono 11 dodecágono 12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
-Os lados opostos são congruentes;
-Os ângulos opostos são congruentes;
-A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
-As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Quadrilátero: que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

Conheça a Geometria Plana
Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.
Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".
Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.
TRIÂNGULOS
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.
Quanto aos lados:
Equilátero Isósceles Escaleno
todos os lados iguais dois lados iguais todos os lados diferentes

Quanto aos ângulos:
Acutângulo Obtusângulo Retângulo
Um ângulo agudo Um ângulo obtuso Um ângulo reto

Algumas propriedades:
- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
- Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.
QUADRILÁTEROS
- Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem lados paralelos).
- Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos (apenas com dois lados paralelos).
Paralelogramos
Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo
Propriedades:
Retângulo: - lados opostos iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais iguais que se bissetam
- dois eixos de simetria

Losango: - quatro lados iguais
- ângulos opostos iguais
- diagonais perpendiculares que se bissetam
- dois eixos de simetria

Quadrado: - quatro lados iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais perpendiculares
- quatro eixos de simetria

Paralelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais
- ângulos opostos iguais
- diagonais que se bissetam
- não tem eixos de simetria

TRAPÉZIOS PROPRIAMENTE DITOS
Isósceles Retangular Escaleno
Propriedades:
Isósceles: - dois lados iguais
- um eixo de simetria
Retângular: - um ângulo reto
- não tem eixos de simetria
Escaleno: - quatro lados diferentes
- não tem eixos de simetria
POLÍGONOS
Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos.
Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos.
Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos.
Octógonos - São polígonos de oito lados e oito ângulos.

Os polígonos podem ser côncavos ou convexos.
Um polígono diz-se côncavo quando o prolongamento de pelo menos um dos seus lados corta o polígono em duas partes.
Um polígono diz-se convexo quando o prolongamento de qualquer dos segmentos que o determina deixa o polígono de um só lado.
Os polígonos podem ser regulares ou não regulares.
Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais, caso contrário, diz-se não regular.
CIRCUNFERÊNCIA(circulo)
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de CENTRO da circunferência (ponto O). A distância constante denominamos de RAIO (indicado por r).
Vejamos alguns elementos da circunferência:
-Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio (r).
- Qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se CORDA.
-A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se DIÂMETRO. Assim, o diâmetro é a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar o diâmetro por d, logo d=2r.
ARÉA DO:
-retângulo = b.h
-quadrado = l.l
-triângulo = (b.h)/2
-losango = (D.d)/2
-trapézio = (B + b).h/2
-polígono regular = n.(l.a)/2
-círculo = pi.r.r
GLOSSÁRIO:
- Altura: nome dado a alguns comprimentos.
Em alguns triângulos, paralelogramos ou trapézios, altura é um segmento de reta desenhado a partir de um vértice, perpendicularmente ao lado oposto a ele. Esse lado oposto chama-se base.
- Base: no retângulo base é o lado que não é considerado altura.
Num triângulo ou paralelogramo base é o lado perpendicular à altura.
- Centro: ponto no interior de uma circunferência ou esfera, eqüidistante de todos os pontos dela.
- Círculo: porção de um plano limitada por uma circunferência.

- Circunferência: curva plana, fechada, cujos pontos estão todos a mesma distância de um ponto interior, dito Centro.
- Diagonal: segmento de reta que liga dois vértices de um polígono, os vértices não podem ser vizinhos.
O segmento AB é uma diagonal do losango.
- Equilátero: o prefixo "equi" indica igualdade, um polígono é equilátero se todos os lados forem iguais.
- Geométria: palavra de origem Grega formada por Geo (terra) e metria (medida). Há 5000 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas áreas. Com o tempo, tornou-se a parte da matemática que estuda figuras como retângulos, cubos, esferas, etc.
- Perímetro: medida do contorno de uma figura geométrica plana (ou seja, soma de todos os lados).
- Raio: segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer da circunferência.
- Vértice: ponto comum a dois lados de um ângulo, a dois lados de um polígono ou a três ou mais arestas de uma figura espacial.