As comeias tem a forma hexagonal ?

PORQUE AS COLMEIAS TEM A FORMA HEXAGONAL
O problema dos alvéolos das abelhas despertou a curiosidade dos sábios desde a mais remota antigüidade. O primeiro a se interessar por esse estudo parece ter sido Pappus de Alexandria, matemático grego (320 DC). Ele chegou a estudar alvéolos em forma de prismas de seção hexagonal, triangular e quadrada e deixou transparecer que os prismas hexagonais podiam armazenar mais mel do que os outros dois [2]. Entretanto foi Erasmus Bartholin quem primeiro observou que a hipótese de “economia” nada tinha a ver com o trabalho das abelhas que apenas procuravam executar suas células circulares com a maior área possível mas que, devido à pressão exercida pelas companheiras de trabalho, ficavam impedidas de executar paredes que não fossem planas. Johannes Kepler também deduziu a partir do estudo da ocupação do espaço com simetria total, que todos os ângulos diedros, inclusive os do fechamento, deveriam ser de 120º. Renê Antoine Ferchault, Seigneur de Réaumur, famoso físico francês, julgou por volta de 1700, que se tratava de um problema matemático de máximo e mínimo, que as abelhas resolviam com o intuito de economizar cera. Por esse caminho é que deveriam ser orientados, todos os estudos matemáticos. O astrônomo francês Giovanni Domenico Cassini, cuja família toda de astrônomos se tomou célebre pelas numerosas descobertas no Observatório de Paris, foi contemporâneo de Réaumur. Um de seus sobrinhos, Jean Dominique Maraldi, também astrônomo, interessou- se vivamente pelo problema das abelhas. Maraldi fazia na época a apologia da simplicidade e facilidade da construção pelo fato de serem usados apenas dois tipos de ângulos, um de 109º 28’e outro, seu suplemento, de 70º32’ e enaltecia a beleza matemática: “... mais il en résulte encore une plus belle simétrie dans Ia disposition et dans Ia figure de l'Alvéole” [2]. Maraldi chegou às suas conclusões em 1700 depois de observar colmeias com capas de vidro transparente nos jardins de Cassini contíguos ao Observatório de Paris [2], como ele relata em "Observation sur les abeilles" de 1712 [3]. Curiosamente, observações análogas já haviam sido feitas por Sir Christopher Wren, o arquiteto da Catedral de St. Paul em Londres, conforme ele relata numa carta ao falar de sua agradável e profícua invenção de uma colmeia transparente (publicada por S.Hartlib em "Reformed Commonweaith of Bees' em 1655 [4]). Na sociedade das abelhas apenas as obreiras se dedicam à construção. Os zangãos e a rainha não estão equipados para essa função. Inicialmente as obreiras, ainda não fisiologicamente aptas para o trabalho fora da colmeia, se dedicam aos cuidados de alimentação das ninfas, fornecendo-lhes o mel e o “Pão das abelhas”, suco nutriente produzido pelas próprias glândulas salivares no início da vida. Depois de algum tempo essas glândulas secam enquanto as glândulas da cera, localizadas no abdômen entre os anéis de quitina atingem sua maturidade. Nesta fase as obreiras abandonam a tarefa de ama e se dedicam à construção. Mais tarde, quando as glândulas produtoras de cera deixam de funcionar, seu trabalho passa a ser fora da colmeia na coleta de pólen e néctar. Como na atividade externa as abelhas se expõem a maiores perigos, é natural que elas, no início da vida, se dediquem a tarefas internas que proporcionem maior desenvolvimento da comunidade. As colmeias são geralmente construídas a partir de um plano vertical, de cima para baixo. Os alvéolos são ligeiramente inclinados de aproximadamente 13º sobre a horizontal, diminuindo assim a tendência de vazamento do mel. Eles são executados a partir do plano vertical, simultaneamente em ambos os lados. O início da construção é uma série de pirâmides de três faces que formam o fundo convexo dos alvéolos. Do lado oposto os alvéolos não estão situados nos mesmos eixos e sim defasados. As reentrâncias dos fundos dos primeiros alvéolos dariam fecha- mentos côncavos se os alvéolos fossem co-lineares. Como entretanto os alvéolos do lado oposto ficam defasados, o que é reentrante de um lado torna-se convexo do outro. Dessa maneira, com as mesmas paredes de fundo, todos os alvéolos ficam com seus fundos convexos. A fig.1 mostra a forma inicial da superfície a partir da qual são executados os alvéolos de um lado e outro. Os apicultores aprenderam a colocar uma folha de cera, com os fundos exatos dos alvéolos, prensados com a forma de três losangos com ângulos de 109º 28’e seu suplemento, reunidos de tal modo que formam entre si diedros de 120º. Dessa maneira as abelhas podem começar seu trabalho a partir de superfícies perfeitas já configuradas da mesma maneira que elas as fariam. Parece que isto funciona satisfatoriamente em alguns casos.
ass: alan

QUAL A FORMA DO MONUMENTO FEITO PELO HOMEM ?

O HOMEM DE LA MANCHA

Clássico de Cervantes chega ao seu quarto centenário como o maior monumento da literatura universal

velho fidalgo Alonso Quijano perdeu o juízo no alucinante labirinto do universo dos livros de cavalaria e andou por cidades como Toledo, Albacete e La Roda para atravessar as fronteiras da língua espanhola. A singular história de Miguel de Cervantes (1547-1616) chega ao seu quarto centenário como o maior monumento da literatura universal. Publicada no final de 1604, Dom Quixote de La Mancha é uma obra na qual os leitores mais imaginativos podem passar toda a vida descortinando véus para descobrir outros, ao infinito. Eles podem se perguntar que estranhos motivos levaram o autor espanhol a tecer uma longa narrativa sobre um lunático perdido e um rústico lavrador de "pouco sal na moleira". O livro, porém, possui um fundo falso: na verdade, Dom Quixote é uma fábula sobre a eterna luta da inteligência contra a estupidez, da luz contra a escuridão. Essa contenda representou a malfadada história dos grandes escritores espanhóis do chamado Século de Ouro, onde muitos deles foram obrigados a fugir da fogueira do Santo Ofício pelo desterro ou a publicação de sua obra sob pseudônimos, ou então tomar a postura de enfrentar toda a hipocrisia da Inquisição.

Quando Cervantes se tornou escritor, ele já era experiente nessas lides de censura da Santa Inquisição. Discípulo de López de Hoyos e filho de cristãos novos, ele sabia de cor toda a genealogia de perseguições contra o seu sangue. Ao mesmo tempo, era um cristão que se considerava autêntico e avesso a todo e qualquer tipo de intolerância. De forma alguma Cervantes poderia aceitar que homens perseguissem uns aos outros em nome do amor fraterno entre os filhos do mesmo Deus. O autor de Dom Quixote existiu na época em que, para viver em paz na Espanha daquele tempo, a única garantia era a "pureza de sangue", isto é, um documento que afirmava que seu portador não era descendente de mouriscos ou marrancos (ou judeus), ou seja, era um "cristão velho". Dentro da rigorosa casta do país, a missão e finalidade dos cristãos era apenas a guerra e o trabalho braçal.

Fundo falso

Ou seja, trabalhos manuais eram atividades desprezadas pelo sistema. As profissões liberais, o comércio e demais atividades técnicas ou humanísticas podiam significar a existência de alguma linhagem hebraica. Em Dom Quixote de La Mancha , Cervantes se retira de cena como narrador, no capítulo IX para apresentar o mourisco Cid Hamete Benegueli, historiador árabe, tratado por Dom Miguel como um mero "embusteiro", forma de Cervantes veladamente se afastar da narrativa e tornar a obra invulnerável na visão dos inquisidores. Sob o abrigo da impunidade, o escritor cria um sistema onde pode disparar contra toda a estrutura política, social e religiosa que o sufocava. Dada a largada, a história do lunático e de seu amigo lavrador é a consumação dessa empresa, insuperável diante da ignorância que sempre andou junto daqueles que usaram a opressão, a censura e violência como única forma de diálogo.

No entanto, esse é apenas o tripé pelo qual Cervantes coloca a sua obra. Seus dois protagonistas, talvez os mais emblemáticos de toda a história da Literatura, Dom Quixote e Sancho Pança, passam por desconcertantes altos e baixos, por todo o fio de narração. Quixote é louco varrido, Sancho é um bruto capaz de ser investido de seu ajudante. Porém, a aparente sensatez de ambos no começo do livro são outro fundo falso criado por Cervantes: eles só atuam como malucos quando isso convém ao seu criador, especialmente quando ele decide transformar a sua pena em um agudo florete. Por conta disso, encontramos, em Dom Quixote de La Mancha , diálogos memoráveis entremeados por momentos de velhacarias sob a licença poética que cabe aos doidos varridos. A lógica do absurdo é o código vital de Cervantes. Afinal, não era tarefa simples se meter com o Santo Ofício, principalmente se tratando da Inquisição espanhola, certamente a mais tacanha de todas, na História.

O mestre espanhol o fez com impressionante impunidade e maestria. Um exemplo está na primeira parte da obra, quando os livros de cavalaria são condenados à fogueira, dos quais uns poucos escapam. Pode-se entender que o episódio da queima de livros é simplesmente uma paródia dos famosos autos-de-fé em que, com a liturgia macabra que a nobreza farisaica exigia, a Inquisição queimava publicamente obras aos milheiros (como fizeram todos os regimes de exceção da História, como o Nazismo), considerados heréticos ou de orientação judaica. O curioso é que a miopia dos censores de Cervantes não enxergou a galhofa de tal cena...

Retrato sem retoque

Na segunda parte de Dom Quixote , o Cavaleiro da Triste Figura e Sancho passam uma temporada no palácio dos duques. O sutil encontro do casal com a insólita dupla dissimula uma ligeira crítica contra a nobreza espanhola seiscentista, vazia, frívola, ignara e obscurantista de um país (era a época da União Ibérica, com a anexação de Portugal desde 1580) que servia de garganta por onde passava a todo o ouro da América para enriquecer a Europa, não sem antes encher a barriga de uma aristocracia pusilânime cujos duques da alegoria de Cervantes são o retrato sem retoque, a definição definitiva daquela casta. Nesse trecho do romance, quando o duque e a duquesa resolvem brincar inventando, em alguma parte de seus domínios, a Ilha de Barataria, Quixote investe Pança de governador do lugar. Em poucos dias, o rude Sancho se transforma num probo déspota esclarecido a la Voltaire. Vitimado pelas brincadeiras dos vassalos do duque, o rude companheiro do lunático fidalgo desiste do poder, e parte em busca de seu amo, exigindo que não quer ser julgado, já que sai do reino tão famélico quando entrou. Para meio entendedor...

A censura do Santo Ofício era, por assim dizer, burra demais para entender o recado. Realismo mágico temporão? Os moinho de vento de Dom Quixote eram a Inquisição, os padres dissolutos e farisaicos, a iniquidade, a corrupção, a vida de gado do povo, o fato de que tinha mais valor o homem submisso do que o homem lógico, e a sua virtude estava ligada tão somente à "pureza" do seu sangue perante a lei. Tudo sob a máscara do cavaleiro louco e do camponês simplório. Esse era o traço perene da pena cervantina: um libelo contra a hipocrisia do poder e a falácia da querela da limpeza de sangue – uma das muitas vergonhas que a história carrega às costas e que tanto mal causou à liberdade de expressão da cultura espanhola, que Miguel de Cervantes não cansou de acusar com sua astúcia e inteligência singular, burlando toda a "inteligenzia" inquisitorial. A alegoria de Dom Quixote de La Mancha serve de exemplo para tantos episódios que a mesma história produziu e ainda produz, nos dias de hoje. O fidalgo da Triste Figura ainda vive, passados quatro séculos, e a sua saga ainda continua .

FRACTAIS

O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.

Outra vista do conjunto de Mandelbrot.

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.

O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.

Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos.

História

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza.

A idéia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico.

Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir da década de 1960, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot.

Categorias de fractais

Aumento de 350 vezes do conjunto de Mandelbrot mostra os pequenos detalhes repetindo o conjunto inteiro.

Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:

• Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regras fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.
• Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.
• Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.

Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua auto-similaridade. Existem três tipos de auto-similaridade encontrados em fractais:

• Auto-similaridade exata: é a forma em que a auto-similaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma auto-similaridade exata.
• Quase-auto-similaridade: é uma forma mais solta de auto-similaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-auto-similares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-auto-similares, mas não exatamente auto-similares.
• Auto-similaridade estatística: é a forma menos evidente de auto-similaridade. O fractal possui medidas númericas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam alguma forma de auto-similaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade estatística, mas não são exatamente nem quase auto-similares.

Entretanto, nem todos os objetos auto-similares são considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo, é exatamente auto-similar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real representam propriedades complexas e não repetitivas.

Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.

Definições

Fractal conjunto de Julia

Os fractais podem ser definidos segundo algumas características intuitivas, pois se torna difícil a conversão da definição matemática para a linguagem ordinária devido à falta de termos adequados à sua tradução.

Mandelbrot definiu fractal como "um sistema organizado para o qual a dimensão de Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica (número inteiro que caracteriza a geometria de um objeto euclidiano – por exemplo: zero para um ponto, um para uma linha, etc.), onde fractais cujas estruturas sejam ego-semelhantes, ou a dimensão de Hausdorff é igual a dimensão de Minkowski-Bouligand.

Na definição de fractal, os problemas de linguagem incluem:

* Não há nenhum significado preciso para o termo "muito irregular".

* Quando se diz "dimensão", pode haver dúvida na definição do conceito, pois o termo pode ter diversos significados (por exemplo: "tamanho", "importância, -no sentido de valor-", "ordem de matrizes na representação matricial de um grupo", "grau", "num espaço vetorial, o número de vetores de sua base", "num espaço, o número mínimo de coordenadas necessárias à determinação unívoca de seus pontos", etc.). Porém no caso dos fractais, dimensão significa estritamente o "número fracionário ou irracional que caracteriza a geometria de um fractal.".

* Há muitos modos que um objeto pode ser ego-semelhante. Pode-se tentar explicar como uma espécie de fractais "irmãos gêmeos idênticos", onde existe a igualdade na semelhança física, porém suas ‘personalidades’ são diferentes". Isto ocorre quando inicialmente as curvas são alimentadas pelos mesmos dados, mas em determinado momento, há um desvio nos valores dos dados, por exemplo, quando observamos dois fractais numa escala 1:1, estes têm exatamente a mesma aparência, mas se os observarmos numa dimensão 1:1.000.000, as figuras observadas são completamente diferentes.

* Nem todo fractal possui repetitividade, dependendo dos dados inseridos (principalmente no domínio do tempo) este não terá em escalas menores a mesma aparência, aparecendo distorções da figura.

Exemplos

Duas folhas de acrílico cobertas de cola, quando espremidas formam um fractal natural.

Uma perturbação causada por alta tensão em um bloco de acrílico cria um fractal (Figura Lichtenberg).

Árvores e samambaias (ou fetos) são fractais naturais que podem ser modelados em computadores que usam algoritmos recursivos. Esta propriedade de recursividade ou repetitividade está clara nestes exemplos: num ramo de uma árvore ou na folhagem de uma samambaia pode ser observada uma réplica - não idêntica, porém semelhante na estrutura - em miniatura do todo .

Uma classe relativamente simples de exemplos é o Cantor que, observado num intervalo (digamos 1:1) e então noutro (1:10) mais curto (ou aberto), visto numa escala de 0, 1, é uma figura que pode ser (ou não ser) "ego-semelhante" em determinada amplificação, e pode (ou não) ter uma dimensão d ou 0 <>

Um exemplo simples seria excluir o dígito 7 de expansão decimal, ego-semelhante sob dobra-10 (ou amplificação), e também ter uma dimensão tronco 9/log 10 (este valor é o mesmo, não importa que base logarítmica é escolhida), mostrando assim a conexão dos dois conceitos.

Os fractais são geralmente corrugados na sua forma (tanto em cálculos quanto nas imagens que deles resultam). Portanto, não são objetos definíveis pela geometria tradicional. Isso quer dizer que os fractais tendem a ter detalhes significantes, visíveis sob qualquer ponto de vista, ou seja, suas variações visuais são perfeitamente mensuráveis. Quando houver ego-semelhança, haverá recursividade ou repetitividade, ou seja, em "zoom" poderá ser observada a repetição da figura.

Um brócolis como exemplo de um belo fractal natural.

Por exemplo, uma forma euclidiana normal - como um círculo - parece mais aplainada e alisada quando é amplificada. Numa ampliação infinita, seria impossível se diferenciar o círculo de uma linha reta. No caso dos fractais, isto não acontece (embora, também neste caso, quanto mais amplificarmos, mais nos aproximamos da linha reta) em razão da perda de dados ao longo de múltiplas amplificações (desvios acontecem pela imprecisão das inserções seqüenciais dos dados).

A idéia convencional de curvatura representada pela reciprocidade radial (em radianos) num círculo por aproximação, usualmente não pode ser aplicada em escalas muito grandes, pois o "raio" de curvatura fica fora de escala - daí a "aparência" de uma linha reta.

Com os fractais ocore o contrário: ao se aumentar a amplificação, revelam-se mais e mais os detalhes - a depender do grau de precisão e da quantidade de casas decimais dos dados inseridos. As distorções tendendo para a linha reta ocorrem justamente pelo fato de haver "falta de memória" nas máquinas que executam o cálculo. Portanto, um fractal jamais alcançará uma linha reta, salvo quando a fórmula que o constitui assim o permitir.

Alguns exemplos comuns de fractais:

• Conjunto de Mandelbrot
• Fractal de Lyapunov
• Conjunto de Precentor
• Tapete de Sierpinski
• Triângulo de Sierpinski
• Menger sponge
• Curva de dragão
• Curva de Peano
• Curva de Koch

Os Fractais podem ser determinísticos ou estocásticos (Ver George G. Stokes).

No caso da Teoria do Caos, podemos associá-la totalmente aos fractais; também no conhecido "Mandelbrot set" Conjunto de Mandelbrot podemos observar discos inteiros, cuja dimensão é 2. Isto não é de surpreender. O que é verdadeiramente surpreendente é que o limite do conjunto Mandelbrot também tem uma dimensão de Hausdorff de 2.

Um conjunto de Julia, um fractal relacionado ao conjunto Mandelbrot

Aproximações de fractais (Fractais naturais) são encontradas freqüentemente na natureza. Estes objetos exibem uma estrutura complexa próxima aos objetos matemáticos, porém finitas, se as observarmos em escalas maiores.

Os fractais naturais estão à nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios e seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, os feixes nervosos, etc. Com maiores ou menores graus, estas figuras estão classificadas em diversas magnitudes.

Apesar de existirem por toda a natureza e de serem onipresentes, estes objetos somente foram realmente estudados a fundo no século XX.

Harrison [1] estendeu o cálculo Newtoniano para o domínio fractal, também inseriu os teoremas Gauss da divergência, o Teorema de Green, e o Teorema de Stoke.

Os Fractais são normalmente gerados através de computadores com softwares específicos. Através de seu estudo podemos descrever muitos objetos extremamente irregulares do mundo real. Como exemplo de softwares temos o Xaos.Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para verificar as turbulências da atmosfera incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria turbulência, os litorais, e árvores. As técnicas fractais também estão sendo empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além das mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.

Montanhas fractais

A superfície de uma montanha pode ser modelada num computador usando uma fractal: começamos com um triângulo no espaço 3D. Acham-se os pontos centrais das 3 linhas que formam o triângulo e criam-se 4 novos triângulos a partir desse triângulo. Deslocam-se depois aleatoriamente esses pontos centrais para cima ou para baixo dentro de uma gama de valores estabelecido. Vai-se repetindo o mesmo procedimento mas fazendo os deslocamentos dos pontos centrais dentro de uma gama de valores que em cada iteração é igual a metade da anterior.

Uma animação com uma fractal que modela a superfície de uma montanha

Computação de um feto (samambaia)

Feto fractal

Um feto fractal pode ser gerado usando um sistema de funções iteradas começando com um ponto na origem e determinando iterativamente novos pontos a partir do resultado da aplicação aleatória de uma de 4 diferentes transformações de coordenadas:

Esta transformação, que é realizada apenas 1% das vezes, mapeia qualquer ponto para um ponto no segmento de recta mostrado a verde na figura.

Esta transformação, que é realizada apenas 7% das vezes, mapeia qualquer ponto dentro do rectângulo preto para um ponto dentro do rectângulo vermelho na figura.

Esta transformação, que é realizada apenas 7% das vezes, mapeia qualquer ponto dentro do rectângulo preto para um ponto dentro do rectângulo azul escuro na figura.

Esta transformação, que é realizada 85% das vezes, mapeia qualquer ponto dentro do rectângulo preto para um ponto dentro do rectângulo azul claro na figura.

A primeira transformações de coordenadas desenha o caule. A segunda, desenha a primeira folha da esquerda do feto. A terceira, desenha a primeira folha da direita do feto. E a quarta gera cópias sucessivas e garante que o todo é uma réplica maior de cada folha.

Atractor de Lorenz

O desenho da trajectoria do Sistema de Lorenz para valores r = 28, σ = 10, b = 8/3

Introduzido por Edward Lorenz em 1963, o Atractor de Lorenz é um sistema não linear tridimensional determinista dinâmico derivado de equações simplificadas tiradas das convencionais equações dinâmicas da atmosfera. Para um determinado conjunto de paramentos o sistema exibe um comportamento caótico e mostra o que é hoje chamado de atractor estranho. O atractor estranho, neste caso, é um fractal.

As Bolhas de Sabão São Esfericas ? alan

Bolha de sabão é uma película muito fina de sabão e água em forma de esfera e de superfície iridescente. Normalmente as bolhas de sabão duram apenas alguns segundos e logo explodem por si mesmas ou por contato com outro objeto. Muitas vezes são usadas como objeto de jogos para crianças, porém seu uso em espetáculos artísticos demonstra que também podem ser fascinantes para os adultos. Podem também ajudar a resolver problemas matemáticos complexos sobre o espaço, já que sempre se busca a menor área de superfície entre pontos ou arestas. A pele da borbulha é uma fina camada de água encurralada entre duas camadas de móleculas tensoativas, geralmente sabão. Estes tensoativos possuem uma cauda hidrofóbica e uma ponta hidrofílica. As ponta hidrofílicas são atraídas pela fina camada de água e mantém intacta a bolha. Quando as caudas hidrofóbicas se agitam a estrutura explode. Ass: Alan Andrade

Qual a forma do maior monumento feito pelo homem?

A Grande Muralha da China foi construída para ligar fortificações já existentes, criando um sistema de defesa unificado que impedisse as invasões do território chinês por tribos mongóis. É o maior monumento já construído pelo homem e o único visível do espaço.

Imensa construção arquitetônica que possui aproximadamente 7.000 quilômetros de extensão, 7,5 metros de altura entre 5 e 7 metros de largura, é considerada como uma das mais fantásticas obras construídas pelo homem, hoje é reconhecida com uma das sete maravilhas do mundo.

Em Altura o Maior monumento é A Torre Eiffel medindo 324 metros ( com antena ) é a estrutura mais alta feita pelo homem.

A torre Eiffel tem sua estrutura sustentada nos
conceitos da geometria hoje conhecida como
fractal.

Qual a forma da estrutura cristalina de um diamante?

A estrutura cristalina do diamante é completamente diferente. Cada átomo de carbono possui quatro átomos vizinhos, aos quais está fortemente ligado, formando o conjunto uma estrutura tridimensional extremamente dura e resistente.



Diamante: C, d = 3,52 g.cm-3. Ocorre naturalmente e pequenas quantidades podem ser produzidas sinteticamente. É extremamente duro e forma cristais altamente refrativos. A dureza do diamante resulta da sua estrutura cristalina covalente, na qual, cada átomo de carbono está ligado covalentemente a quatro outros, situados nos vértices de um tetraedro. A ligação C – C tem comprimento 1,54Å e ângulo de 109,5°.´


Informações interessante: O diamante é o mineral mais duro encontrado na natureza. O seu grau de dureza é 10, valor máximo atribuído na Escala de Mohs. Assim, ele é capaz até de cortar ferro e aço, serrar pedras, moer, polir e raspar diversos tipos de instrumentos.

Porque as bolhas de sabão tem forma esferica?

Bolha de sabão é uma película muito fina de sabão e água em forma de esfera e de superfície iridescente. Normalmente as bolhas de sabão duram apenas alguns segundos e logo explodem por si mesmas ou por contato com outro objeto. Muitas vezes são usadas como objeto de jogos para crianças, porém seu uso em espetáculos artísticos demonstra que também podem ser fascinantes para os adultos. Podem também ajudar a resolver problemas matemáticos complexos sobre o espaço, já que sempre se busca a menor área de superfície entre pontos ou arestas.
Estrutura

A pele da borbulha é uma fina camada de água encurralada entre duas camadas de móleculas tensoativas, geralmente sabão. Estes tensoativos possuem uma cauda hidrofóbica e uma ponta hidrofílica. As ponta hidrofílicas são atraídas pela fina camada de água e mantém intacta a bolha. Quando as caudas hidrofóbicas se agitam a estrutura explode.
Física
Tensão superficial e forma
A bolha pode existir porque a camada superficial de um líquido (geralmente água) tem certa tensão superficial, o que faz com que a camada se comporte como uma folha elástica. Uma bolha feita apenas com um líquido puro não é estável e necessita de um tensoativo dissolvido, como o sabão, para estabilizar. Um erro comum é acreditar que o sabão aumenta a tensão superficial da água. De fato, o sabão faz justamente o contrário, diminuindo a tensão superficial de um líquido em aproximadamente 1/3. O sabão não reforça a bolha, mas estabiliza pelo mecanismo chamado de Efeito Marangoni. Esticando a película de sabão, a concentração de sabão diminui, aumentando a tensão superficial. Assim, o sabão reforça seletivamente partes mais frágeis da bolha e impede a extensão. Além disso, o sabão reduz a evaporação, para que as bolhas durem mais, embora esse efeito é relativamente pequeno. Sua forma esférica também é causada pela tensão superficial. A tensão faz com que a bolha forme uma esfera, pois a esfera tem uma menor área superficial para um volume determinado. Esta forma pode distorcer-se visivelmente por correntes de ar, como em um sopro, porém, permanece semi-esférica, em vez da típica caricaturada representação de uma gota de chuva. Quando um corpo em queda alcança sua velocidade terminal, a força de arrasto que atua sobre ela é igual ao seu peso, como o peso da mesma é muito menor em relação a seu tamanho, do que uma gota de chuva, sua forma não distorce com mesma intensidade. Congelamento
As bolhas de sabão criadas ao ar em uma temperatura abaixo de -15 °C (5 ºF) são congeladas. O ar do interior é perdido gradualmente por difusão, fazendo as bolhas se enrugarrem com o próprio peso.
Em baixas temperaturas, exemplo, -25 °C (-13 ºF), as bolhas se congelam no ar, podendo quebrar ao tocar o solo. Em uma temperatura tão baixa, uma bolha soprada com o ar quente dos pulmões, primeiramente congela-se em forma semi-esférica, porém quando o ar quente se esfria, perdendo volume, há um colapso parcial da bolha. Uma bolha soprada com sucesso a essa temperatura será sempre pequena: irá congelar rapidamente e se o sopro continuar irá romper.
União
Quando duas bolhas se unem os mesmos princípios físicos são aplicados, as bolhas assumem a forma com a menor área possível. Sua parede em comum desloca e integra com a bolha de maior tamanho, pois as bolhas menores possuem uma pressão interna maior. Se possuem um mesmo tamanho a parede é plana.
Havendo duas ou mais bolhas, se colocam de maneira que só se tocam três paredes em uma mesma linha, separadas por ângulos de 120°. Está é de novo, a escolha mais eficiente, é a razão pela qual as células de uma colméia usam ângulos de 120º, formando hexágonos. Apenas quatro paredes podem se encontrar em um mesmo ponto, onde os tripletos de paredes são separados por Interferência e reflexão
A cor iridescente das bolhas de sabão é efeito da interferência entre as ondas de luz. Quando a luz incide na película, parte dela é refletida para a parte exterior da superfície, enquanto outras partes entram na película e ressurgem depois de refletidas várias vezes por ambas as superfícies. A reflexão total que é observada é determinada pela interferência de todas estas reflexões. Como cada vez que se atravessa a película se produz uma fase proporcional à espessura da película e inversamente proporcional a longitude de onda, o resultado da interferência depende destas duas quantidades. Portanto, para uma determinada espessura, a interferência é construtiva para algumas longitudes de onda e destrutiva para outras, de maneira que a luz branca que incide na película é refletida com uma tonalidade que muda com a espessura.
Pode-se observar uma alteração de cor quando a bolha é feita mais fina por evaporação. As paredes mais espessas cancelam longitudes de ondas vermelhas (mais largas), causando uma reflexão azul - verde. Em seguida, as paredes mais finas cancelam o amarelo (deixando luz azul), logo o verde (deixando magenta), também o azul (deixando o amarelo). Finalmente, quando a parede da bolha é muito mais fina que a longitude de onda da luz visível, todas as ondas da região visível se cancelam umas as outras e não se percebe nenhuma reflexão. Quando se observa tal estado a parede é mais fina que 25 nanômetros, provavelmente a ponto de explodir.
Os efeitos da interferência também dependem do ângulo em que a luz incide sobre a película, o efeito de iridescência. Portanto, embora a parede da bomba tenha uma espessura uniforme, segue-se vendo variações de cores devido à curvatura e/ou movimento. No entanto, a grossura da parede muda continuamente porque a gravidade atrai o líquido de fundo, de maneira que normalmente também se observa faixas de cores que se movem de cima para baixo.
Propriedades matemáticas
Bolha de sabão também é uma ilustração física da Teoria das Superfícies Mínimas, um complexo problema matemático. Por exemplo, embora seja conhecida desde 1884 que uma bolha de sabão esférica é uma forma de juntar um certo volume de ar com menor área (um teorema de HA Schwarz), foi demonstrado recentemente no ano 2000 que duas bolhas de sabão unidas proporcionam uma ótima maneira de juntar dois certos volumes de ar com a menor área da superfície. Este chamado teorema da bolha dupla.As películas de sabão buscam minimizar sua área de superfície, ou seja, minimizar sua energia de superfície. O melhor design para uma bolha isolada é uma esfera. Grupo de muitas bolhas em uma espuma tem formas muito mais complicadas.

Bolhas coloridas

O uso de corantes normais para colorir bolhas não é efetivo, uma vez que o corante se acumula no fundo da bolha, assim não produz uma cor uniforme. Corantes especiais, com anéis de lactona permitem a produção de bolhas de cores brilhantes. Um exemplo são as zubbles.
Bolhas artísticas
Os espetáculos de bolhas de sabão combinam entretenimento com arte
. Exigem um nível de habilidade perfeito, também de misturas perfeitas. Artistas criam tubos ou bolhas gigantes, muitas vezes envolvendo objetos ou pessoas. Para melhorar a experiência visual, por vezes usa-se fumaça ou hélio combinado com luz e laser ou fogo. Também podendo ser preenchidas com gases inflamáveis, como gás natural e, em seguida, pegar fogo.

Qual a forma da estrutura cristalina de um diamante? (Jamile Lima)

Estrutara cristalina de uma Diamante

Diamante: C, d = 3,52 g.cm-3. Ocorre naturalmente e pequenas quantidades podem ser produzidas sinteticamente. É extremamente duro e forma cristais altamente refrativos. A dureza do diamante resulta da sua estrutura cristalina covalente, na qual, cada átomo de carbono está ligado covalentemente a quatro outros, situados nos vértices de um tetraedro. A ligação C – C tem comprimento 1,54Å e ângulo de 109,5°.

Diamante: s. m. Mineral composto somente por carbono, de dureza 10 na Escala de Mohs. É o mais duro dos minerais conhecidos. Geralmente incolor ou preto, mas pode também ocorrer em praticamente qualquer cor, sendo as mais comuns azul, amarelo champanhe, verde.Como mineral industrial é muito usado em ferramentas de corte: brocas, serras, tupias e como abrasivo, na forma de pó fino, às vezes misturado em pasta. Na joalheria é o mais valioso dos minerais. Veja em avaliação de gemas e em avaliação de diamantes os critérios usados para se avaliar comercialmente um diamante e outras gemas. É chamando de brilhante quando lapidado neste tipo de lapidação, sendo a que melhor realça seu brilho e a mais valorizada.

Propriedades Físicas

Brilho:adamantino típico
Clivagem:perfeita segundo três direções.
Cor:incolor, azul, amarelo claro, preto. Pode ocorrer em quase todas as cores.
Fratura:conchoidal
Transparência:transparente a translúcido
Dureza (Escala de Mohs): 10
Densidade:3,1 a 3,5g/cm3
Hábito:comum em cristais octaédricos com faces curvas.
Tenacidade:friável
Traço:incolor
É fluorescente

Estrutura cristalina

Diferentemente da grafite, o diamante possui uma estrutura cristalina onde cada átomo de carbono se une fortemente, através de ligações covalentes, a quatro átomos de carbono. Isto resulta em uma estrutura muito rígida e muito polarizada, que é a estrutura natural mais rígida que existe.
Além da dureza, o empacotamento dos átomos no diamante é de tal ordem que aumenta a densidade do mineral. Notar na figura que a distância interatômica entre os átomos de carbono no diamante é 0,15nm. Na grafita esta distância é 0,67 nm.

Estrutura cúbica do diamante, responsável por suas propriedades.

Diamantes